使根号3x 1有意义，根号3x有意义的x取值范围

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中考数学最后一道题中，有关抛物线的题出现的概率是最高的。例如下面的题

直线y=2x+m和抛物线y=ax^2+ax+b有公共点M1,0,alt;b

1求包含a的代数公式表示的抛物线顶点Q的坐标。

图2显示直线与抛物线有两个交点；

3直线与抛物线的另一个交点记为N

假设-1a-1/2，求线段MN长度的取值范围；

求QMN的面积最小值

分析1是待定系数法的不完全应用。将M点的坐标代入抛物线的解析公式即可得到b与a的关系。然后用含有a的公式表示b，代入解析公式。此时无法得到抛物线的完整解析公式，因此是待定系数法的不完整应用。不过，只要将解析公式转化为顶点公式，案就出来了。

2对于第二个子题，可以用判别式的方法，通过判断判别式的符号性质来解释直线和抛物线有两个交点。

将M点的坐标代入线性解析公式，可得m=-2。然后结合直线方程和抛物线方程得到x的二次方程。它的判别式是完全平方法，不小于0。要证明两个交点，就需要排除判别式等于0的形式，从而证明它们有两个交点。

3借助图像更容易解决，所以绘制图像的能力就显得尤为重要。过程比较复杂。在下面组织解题的过程中，边解决边分析。

解1将M1,0代入抛物线解析式可得2a+b=0，b=-2a，

y=ax^2+ax-2a=ax+1/2^2-9a/4,Q-1/2,-9a/4;

2将M1,0代入y=2x+m得到，2+m=0，m=-2，

当ax^2+ax-2a=2x-2时，ax^2+a-2x-2a-2=0，

=a-2^2+4a2a-2=3a-2^20，

而alt;b，且a和b有不同的符号，alt;0，【a的符号性质在第三题中起着非常重要的作用】

gt;0，即直线与抛物线有两个交点

3设置Nx，2x-2，则1-x=3a-2/a=3-2/a，[1,x分别为M和N的横坐标，即方程ax^2+a-2x-2a-2=0的两个解，所以它们的差等于根号/a，且=3a-2^2，注意1-x是正数，所以右边也一定是正数。这就是Veda定理的扩展公式的应用】

当-1a-1/2、51-x7时，【两题都用到了1-x的值，所以在第一题之前解释一下】

MN=根号[x-1^2+2x-3^2]=根号51-x，【这是两点距离公司的应用】

5根数5MN7根数5

如图所示，记住抛物线的对称轴x=-1/2与MN相交于A点，则A-1/2，-3，AQ=3-9a/4，

SQMN=3-9a/43-2/a/2=27/4-3/a-27a/8，【三角形QMN的面积等于三角形AQM和三角形AQN的面积之和。这两个三角形有一个共同底AQ，因此它们的面积之和等于AQ/2与MN水平距离的乘积]

【这一步其实很重要，老黄一开始就忽略了。因为如果没有alt;0，则无法使用下面的均值不等式，而只有alt;0才能保证-3/agt;0，-27a/8gt;0，所以他们的和可以使用均值不定式]

-3/a-27a/82根号3X27/8=9根号2/2，【这里用的是均值不等式，因为在alt;02中已经证明了，所以-3/a和-27a/8都是正数，这是应用均值不等式的必要条件。平均不平等是高中的知识，但初中生也应该掌握。而且，在高中数学中，往往会要求是否能够得到均值不等式的最小值，而初中数学一般没有这个要求。这里a可以是任意负数，所以必须求最小值]

SQMN=27/4+9平方根2/2最小

在求最小值时，还有一种方法是直接将S作为参数，得到关于a的二次方程

27a^2/8+S-27/4a+3=0

然后利用这个方程与S=27/4-3/a-27a/8>27/4的判别式来求S的最小值。其实这个方法对于初中生来说并不是特别适合。

事实上，在第一个题中，我们已经得到了MN关于a的表达式，它是三角形QMN的底。如果Q到MN的距离可以用包含a的公式来表示，a就是三角形QMN的高，那么这个题也可以解决。还要套用高中数学中的点到直线的距离公式。不过点到直线的距离公式并不难，而且很容易使用。最适合初中生学习和掌握。老黄以前的作品里有很多介绍。

中考最后一题就怕这种踩着超纲和不超纲线的题。你怎么认为？

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